Rođen je u Nišu. Godine 1953. se preselio u Beograd, gde počinje da piše pesme i da se bori za njihovo objavljivanje. Ubrzo po dolasku upisuje se na Beogradski univerzitet, na Filozofski fakultet, i stvara prijatelje sa drugim pesnicima, Vaskom Popom i Ivanom Lalićem.
Mladi Miljković odbija članstvo i asociranje sa partijom, što je rezultiralo u neobjavljivanju njegove poezije. Međutim, njegov uspeh kod mladih je bio očigledan i pet njegovih pesama je objavljeno u poznatom časopisu Delo, čiji je glavni i odgovorni urednik u to vreme bio niko drugi do Oskar Davičo. Ubrzo potom sledi njegova prva kolekcija pesama 1956. godine, pod nazivom Uzalud je budim, i bila je uspeh kod publike kao i kod kritičara. Pesma je postala klasik, i jedna od najpoznatijih njegovih pesama.
Često je viđen po kafanama Beograda, u kojem je Branko vodio boemski i bezbrižan život. Međutim usled stalnog konzumiranja alkohola, umeo je da pokaže i svoju agresivnu stranu kada je bio u pijanom stanju, zbog kojih je stalno ulazio u tuče koje je skoro uvek gubio. Ovakvo ponašanje ga je često dovodilo u neprilike sa režimom koji nije želelo da toleriše slične ispade. 1960 godine seli se u Zagreb gde i umire pod nikada do kraja razjašnjenim okolnostima.
Mladi Miljković odbija članstvo i asociranje sa partijom, što je rezultiralo u neobjavljivanju njegove poezije. Međutim, njegov uspeh kod mladih je bio očigledan i pet njegovih pesama je objavljeno u poznatom časopisu Delo, čiji je glavni i odgovorni urednik u to vreme bio niko drugi do Oskar Davičo. Ubrzo potom sledi njegova prva kolekcija pesama 1956. godine, pod nazivom Uzalud je budim, i bila je uspeh kod publike kao i kod kritičara. Pesma je postala klasik, i jedna od najpoznatijih njegovih pesama.
Često je viđen po kafanama Beograda, u kojem je Branko vodio boemski i bezbrižan život. Međutim usled stalnog konzumiranja alkohola, umeo je da pokaže i svoju agresivnu stranu kada je bio u pijanom stanju, zbog kojih je stalno ulazio u tuče koje je skoro uvek gubio. Ovakvo ponašanje ga je često dovodilo u neprilike sa režimom koji nije želelo da toleriše slične ispade. 1960 godine seli se u Zagreb gde i umire pod nikada do kraja razjašnjenim okolnostima.